一道物理小题

没 blog 可写的时候，Neko 给了我一道物理题。

原题：

文字版：

科考人员从山岭前坡向山势险峻的背坡投掷追踪器来跟踪动物活动路径。山岭可简化为如图所示的 $\triangle{ABC}$，$\angle{BAC}=30 \degree$，$\angle{ABC} =60 \degree$，科考人员在前坡的同一点 $M$ 投掷追踪器。第一次以大小为 $5 \sqrt{7}\ ~ \text{m/s}$ 的速度投出，追踪器恰好沿背坡表面向下滑动；改变速度第二次投掷，追踪器刚好水平掠过 $C$ 点。重力加速度 $\text{g}=10\ ~ \text{m/s}^2$，忽略空气阻力，两坡足够长。求： (1) 第一次掷出时的速度方向与 AC 夹角的正切值 $\tan\alpha$； (2) 第二次掷出后，追踪器在背坡落点到 $C$ 点的距离 $\text{L}$。

（ 1 ）

以 M 为原点，AC 方向为 x 轴，BC 方向为 y 轴建立直角坐标系。容易发现当追踪器抵达 C 的时候，追踪器在 y 轴上的分速度为 0。

于是可以得到，重力加速度在 y 轴上的分量 $g\_y = g\cos 30 \degree = 5 \sqrt{3} ~ \mathrm{m/s^2}$，在 x 轴上的分量 $\text{g}_x = \text{g} \sin 30 \degree = 5 ~ \mathrm{m/s^2}$

这样，结合刚才说到的，追踪器抵达 C 点后速度平行于 BC，就得到了两条方程：

$v \cos \alpha - g_x t = 0 \\ v \sin \alpha - g_y t = - v \sin \alpha$

其中 t 表示运动时间。

解方程，先将式子化简，

$5 \sqrt{21} \cos \alpha = 10 \sqrt{7} \sin \alpha$

所以，

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5 \sqrt{21}}{10 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

且 t = 2 s。完成。

（ 2 ）

因为我用 draw.io 不熟练，这一节我就不打电子图了。如果有需要我会考虑做一份电子图出来。

这道题的暗示相当明显，追踪器刚好水平掠过 C 点，意思就是，当追踪器经过 C 点时，竖直方向的分速度为 0。也就是经过 C 点后，追踪器做加速度为 g 的平抛运动。记 v’ 为初速度，θ 是 v’ 和水平面的夹角。

先根据 （1）算出来 M 到 C 的距离 l_MC = 10 m。于是，

$-(v' \sin \theta)^2 = 2gl_{MC}\sin 30 \degree$

解得 v’sinθ = 10 m/s。记掠过 C 点前用时 t₁，

$(v' \sin \theta) t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2 = 5 \text{m}$

解得 t₁ = 1 s。所以，设掠过 C 点时速度为 v_m，

$v_m = \frac{l_{MC} \cos 30 \degree}{t_1} = 5 \sqrt{3} ~ \text{(m/s)}$

后面就是简单地计算平抛运动的位移。

$l_x = v_mt_2 \\ l_y = \frac{1}{2}gt_2^2$

而且我们知道 $\frac{l_y}{l_x} = \tan 60 \degree = \sqrt{3}$，因此容易算出，

$L = \sqrt{l_x^2 + l_y^2} = \sqrt{(15\sqrt{3})^2+45^2} = 30 \sqrt{3} ~ \text{(m)}$

完成。

(The end)